Achill und die Schildkröte - Die Lösung

Die Antwort ist: NEIN! So beruhigend dies auch im Hinblick auf die nächste Olympiade ist, dies ist durchaus ein erstaunliches Ergebnis.

Man kann tatsächlich ohne Unterlaß Zahlen addieren, ohne daß das Ergebnis beliebig groß wird. Dies ist dann möglich, wenn die Zahlen, die aufaddiert werden, auf geeignete Weise immer kleiner werden. Man sagt dann, die Summe konvergiert.

Das "auf geeignete Weise" ist nicht leicht klarzumachen. Es gibt nämlich Zahlen, die immer kleiner werden, aber beim Aufaddieren kommt doch etwas verdammt großes raus. (Dies ist zum Beispiel bei den Zahlen 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+... so. Die Zahlen werden immer kleiner, aber die Addition ergibt trotzdem eine unendlichgroße Zahl.)
Bei Achill und der Schildkröte ist das nicht so. Die Zahlen werden auf die richtige Art klein. Wie kann man das sehen? Na ja, wenn der Rest, der nach einem bestimmten Zeitpunkt noch insgesamt dazukommt, sehr klein ist, dann weiß ich ja zu diesem Zeitpunkt schon ungefähr, was das Ergebnis der unendlichen Summation ist. Das bedeutet aber gerade, daß die Summe nicht beliebig groß wird.
Bei der oben beschriebenen Addition kommt nachdem ich die Zahlen 10 + 1 addiert habe nur noch 0.1+ 0.01 + 0.001 + ... =0.11111... dazu. Nach den ersten zwei Additionen 10 + 1 + 0.1 ist der Rest, der jetzt noch dazu kommt, 0.01 +0.001 + ... =0.0111111. Der Zuwachs, der nach einer bestimmten Addition dazu kommt, wird immer kleiner. Die Summe konvergiert!

Die Summe konvergiert, sie wird nicht unendlich groß. Tatsächlich ist ihr Wert 11.111111....

Nach 11,1111... Sekunden hat Achill die Schildkröte eingeholt, und spätestens nach 12 Sekunden zeigt er ihr und Zenon den Mittelfinger.

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